Gepostet 7 Oktober 2023
Lesenswert: Mathematik sehen und verstehen (eBook) Spektrum-Verlag, 345 Seiten
Ob der Zugang zeitlich befristet ist, ist unbekannt. Lesenswert ist das Buch ob seiner Verständlichkeit allemal. Inhalt:
lehmanns.de/sho…hen
1 Einleitung 1
1.1 Ziel dieses Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2
Historisches zur Lehre von Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.3 Vorgehen in diesem Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.4 Die Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.5 Einige Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2 Kryptografie 9
2.1 Die alte und die neue Kryptografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.2 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.3 Restklassen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.1 Der Modul der Restklassen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.3.2 Allgemeines Rechnen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Multiplizieren modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.4 Potenzieren modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.3.5 Inversenbestimmung modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.3.6 Größter gemeinsamer Teiler, euklidischer Algorithmus. 29
2.4 Kryptografische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
2.4.1 Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung . . . . . . . . . . . . . . .33
2.4.2 RSA-Verschlüsselung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2.4.3 Digitale Signatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
2.4.4 Zertifizierung der öffentlichen Schlüssel. . . . . . . . . . . . . .41
2.5 Rückblick auf die moderne Kryptografie . . . . . . . . . . . . .. . . .43
3 Codierung 45
3.1 Europäische Artikelnummer: EAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 ISBN-13 und ISBN-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Codierung mit 0 und 1 ist überall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Rückblick auf die Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
4 Graphentheorie 57
4.1 Allerlei Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Euler, Königsberg und Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
4.1.2 Beschreibung von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
4.2 Aufspannende Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
4.2.1 Minimale Spannbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Spannbäume in ungewichteten Graphen . . . . . . . . . . . 66
4.3 Kürzeste Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Färbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Graphentheorie: Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . .76
5 Fraktale, Chaos, Ordnung 79
5.1 Idee von Rekursion und Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
5.1.1 Spinnwebdarstellung rekursiver Folgen . . . . . . . . . . . . . . .82
5.1.2 Wachstumsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
5.1.3 Feigenbaumdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Fraktale und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
5.2.1 Wegfraktale, Lindenmayer-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . .89
5.2.2 Selbstähnlichkeit und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
5.2.3 Iterierte-Funktionen-Systeme (IFS) . . . . . . . . . . . . . . . . .95
5.3 Mandelbrot- und Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 Das echte Apfelmännchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.2 Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Muster der Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.1 Zelluläre Automaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.2 Spiralen mit goldenem Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Welt der Funktionen 117
6.1 Funktionenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.1 Parabeln und elementare Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.2 Geraden und Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.3 Polynome in ihrer Vielfalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.1.4 Sinus, Kosinus und Musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.1.6 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2 Funktionenbauhof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.1 Summe von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.2 Produkt von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2.3 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.1 Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.2 Die e-Funktion, das Geheimnis wird gelüftet . . . . . . . . . . . . 157
6.4 Blick auf das Ganze: das Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.2 Weitere Anwendungen des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.5 Großartiger Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.6 Funktionen in höheren Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.6.1 Funktionen im 3D-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.6.2 Mathematische 3D-Lösungen im Bauwesen . . . . . . . . . . . . 175
6.6.3 Noch höher hinaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7 Optimierung als Ziel 181
7.1 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2 Gewinnoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4 Minimalflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.6 Optimierung ist überall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8 Computer und Mathematik 193
8.1 Binärsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2 Zahldarstellung im Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3 Numerisch arbeitende Werkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4 Dynamische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.5 Computer-Algebra-Systeme (CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.6 Berechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.7 Computer in unserer Welt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9 Numerik 217
9.1 Numerische Verfahren der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.1.1 Heron-Verfahren für Wurzeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.1.2 Nullstellensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.1.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.2 Für alle Fälle: Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.2.1 Ein Taylor schneidert Polynomkleider, die fast passen . . . . . . 226
9.2.2 Zwischenwerte: Interpolation mit Polynomen . . . . . . . . . . . 228
9.2.3 Splines: damit es in der richtigen Weise krumm wird . . . . . . . 229
9.2.4 Bézier-Splines: frei gestaltete Formen . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.3 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.4 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.5 Ohne Numerik geht es nicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10 Stochastik 239
10.1 Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.2 Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.2.2 Axiome von Kolmogorow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.2.3 Mehrstufige Zufallsversuche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.3 Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.3.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.3.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.3.3 Kumulierte Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.3.4 Normalverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4 Beurteilende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.4.1 Schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.4.2 Testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.5 Stochastik im Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11 Geometrie 279
11.1 Der goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.2 Die Kegelschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.3 Reflexion bei Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.4 Reflexion bei Ellipsen und Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . .. . . 293
11.5 Kaustiken und Katakaustiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.6 Geometrie im Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12 Selbstverständnis der Mathematik 301
12.1 Mathematiker und Mathematikerinnen. . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.2 Algebra und Zahlaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.3 Mathematische Schönheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
12.4 Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.5 Die unlösbaren Probleme der Antike . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 314
12.6 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13 Lösungen 317
Literaturverzeichnis 323
Index 333
lehmanns.de/sho…hen
1 Einleitung 1
1.1 Ziel dieses Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2
Historisches zur Lehre von Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.3 Vorgehen in diesem Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.4 Die Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.5 Einige Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2 Kryptografie 9
2.1 Die alte und die neue Kryptografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.2 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.3 Restklassen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.1 Der Modul der Restklassen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.3.2 Allgemeines Rechnen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Multiplizieren modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.4 Potenzieren modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.3.5 Inversenbestimmung modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.3.6 Größter gemeinsamer Teiler, euklidischer Algorithmus. 29
2.4 Kryptografische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
2.4.1 Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung . . . . . . . . . . . . . . .33
2.4.2 RSA-Verschlüsselung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2.4.3 Digitale Signatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
2.4.4 Zertifizierung der öffentlichen Schlüssel. . . . . . . . . . . . . .41
2.5 Rückblick auf die moderne Kryptografie . . . . . . . . . . . . .. . . .43
3 Codierung 45
3.1 Europäische Artikelnummer: EAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 ISBN-13 und ISBN-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Codierung mit 0 und 1 ist überall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Rückblick auf die Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
4 Graphentheorie 57
4.1 Allerlei Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Euler, Königsberg und Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
4.1.2 Beschreibung von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
4.2 Aufspannende Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
4.2.1 Minimale Spannbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Spannbäume in ungewichteten Graphen . . . . . . . . . . . 66
4.3 Kürzeste Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Färbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Graphentheorie: Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . .76
5 Fraktale, Chaos, Ordnung 79
5.1 Idee von Rekursion und Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
5.1.1 Spinnwebdarstellung rekursiver Folgen . . . . . . . . . . . . . . .82
5.1.2 Wachstumsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
5.1.3 Feigenbaumdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Fraktale und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
5.2.1 Wegfraktale, Lindenmayer-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . .89
5.2.2 Selbstähnlichkeit und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
5.2.3 Iterierte-Funktionen-Systeme (IFS) . . . . . . . . . . . . . . . . .95
5.3 Mandelbrot- und Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 Das echte Apfelmännchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.2 Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Muster der Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.1 Zelluläre Automaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.2 Spiralen mit goldenem Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Welt der Funktionen 117
6.1 Funktionenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.1 Parabeln und elementare Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.2 Geraden und Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.3 Polynome in ihrer Vielfalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.1.4 Sinus, Kosinus und Musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.1.6 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2 Funktionenbauhof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.1 Summe von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.2 Produkt von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2.3 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.1 Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.2 Die e-Funktion, das Geheimnis wird gelüftet . . . . . . . . . . . . 157
6.4 Blick auf das Ganze: das Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.2 Weitere Anwendungen des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.5 Großartiger Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.6 Funktionen in höheren Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.6.1 Funktionen im 3D-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.6.2 Mathematische 3D-Lösungen im Bauwesen . . . . . . . . . . . . 175
6.6.3 Noch höher hinaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7 Optimierung als Ziel 181
7.1 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2 Gewinnoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4 Minimalflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.6 Optimierung ist überall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8 Computer und Mathematik 193
8.1 Binärsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2 Zahldarstellung im Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3 Numerisch arbeitende Werkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4 Dynamische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.5 Computer-Algebra-Systeme (CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.6 Berechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.7 Computer in unserer Welt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9 Numerik 217
9.1 Numerische Verfahren der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.1.1 Heron-Verfahren für Wurzeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.1.2 Nullstellensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.1.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.2 Für alle Fälle: Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.2.1 Ein Taylor schneidert Polynomkleider, die fast passen . . . . . . 226
9.2.2 Zwischenwerte: Interpolation mit Polynomen . . . . . . . . . . . 228
9.2.3 Splines: damit es in der richtigen Weise krumm wird . . . . . . . 229
9.2.4 Bézier-Splines: frei gestaltete Formen . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.3 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.4 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.5 Ohne Numerik geht es nicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10 Stochastik 239
10.1 Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.2 Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.2.2 Axiome von Kolmogorow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.2.3 Mehrstufige Zufallsversuche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.3 Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.3.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.3.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.3.3 Kumulierte Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.3.4 Normalverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4 Beurteilende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.4.1 Schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.4.2 Testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.5 Stochastik im Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11 Geometrie 279
11.1 Der goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.2 Die Kegelschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.3 Reflexion bei Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.4 Reflexion bei Ellipsen und Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . .. . . 293
11.5 Kaustiken und Katakaustiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.6 Geometrie im Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12 Selbstverständnis der Mathematik 301
12.1 Mathematiker und Mathematikerinnen. . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.2 Algebra und Zahlaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.3 Mathematische Schönheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
12.4 Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.5 Die unlösbaren Probleme der Antike . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 314
12.6 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13 Lösungen 317
Literaturverzeichnis 323
Index 333
Zusätzliche Info
103 Kommentare
sortiert nachWirklich interessante Inhalte und gut mit der "wirklichen Welt" verknüpft.
So manch abstrakte Gleichung wird logisch, wenn man konkrete Anwendungsbeispiele anführt...
Da wird sich "thebigg" aber freuen.
Ist hoffentlich nicht deine E-Mail Adresse, richtig?
Vielen Dank (bearbeitet)
Ich habe Mal viel darüber nachge, warum die Mathematik im Gegensatz zur Physik in die Geisteswissenschaften gehört. Eigentlich bietet die Mathematik nur ein völlig entkoppeltes model, das dann in den Naturwissenschaften genutzt wird um die Natur und die Zusammenhänge zu beschreiben. Die Mathematik bietet eine Modell.. mehr nicht. Wir sind alle nur daran gewöhnt das Modell zu nutzen. Computer rechnen binär.. wir rechnen (üblicherweise) deizimal.. weil wir es gewohnt sind.. das Modell ist also schon unterschiedlich, da arithmetische Operationen sich schon unterscheiden und vieles mehr..
Quintessenz: Mathe ist KEINE Naturwissenschaft sondern ein geisteswissenschaftliches Modell (bearbeitet)
link.springer.com/boo…3-1
Dort gibt es einen Fehler mit "Dieser Zahlungstyp ist nicht erlaubt."
Dir gehört das Werk nicht, also hast du auch keinerlei Recht es ohne Erlaubnis des Rechteinhabers irgendwie weiter zu verbreiten.
Ich weiß, wollen viele hier nicht hören, ist aber nunmal so...
Über das Thema "Kostenlos" kann man streiten. Du bezahlst hier kein Geld, aber es gibt durchaus ein Quid-Pro-Quo. Das Angebot soll dich (unter anderem) in den Shop locken und so hoffentlich zu weiteren Käufen anregen. Zudem könnte auch mit deinen Daten Handel getrieben werden.
Zudem sind diese Angebote zeitlich (und manchmal auch im Kontingent) limitiert. Sie enden meistens nach einer Woche oder so, aber die illegalen Downloads in den Comments bleiben... (bearbeitet)
Und ja, es steht Kreditkarte da aber ohne folgende Abfrage oder sonstigen Eingaben.
Und lizensiert ist das Buch nun auf bisir32692@finghy.com
Btw. die E-Mail Adresse muss nicht verifiziert werden. Daher kann man da irgendwas mit einem @ eintragen.
War so froh, dass ich mit 3,2 die Klausur bestanden habe
kann vlt. Jemand das pdf hier verlinken?
Ja bestimmt jetzt gehts los
Hot wers brauchen kann!
Reingeschaut und einige Themen aus meinem abgeschlossenen Informatikstudium entdeckt.
Ob ich nochmal reinschaue ist sehr fraglich, aber wer weiß ob mans nicht doch nochmal braucht.
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