Lesenswert: Mathematik sehen und verstehen (eBook) Spektrum-Verlag, 345 Seiten

Ob der Zugang zeitlich befristet ist, ist unbekannt. Lesenswert ist das Buch ob seiner Verständlichkeit allemal. Inhalt:
1 Einleitung 1
1.1 Ziel dieses Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2
Historisches zur Lehre von Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.3 Vorgehen in diesem Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.4 Die Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.5 Einige Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2 Kryptografie 9
2.1 Die alte und die neue Kryptografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.2 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.3 Restklassen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.1 Der Modul der Restklassen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.3.2 Allgemeines Rechnen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Multiplizieren modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.4 Potenzieren modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.3.5 Inversenbestimmung modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.3.6 Größter gemeinsamer Teiler, euklidischer Algorithmus. 29
2.4 Kryptografische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
2.4.1 Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung . . . . . . . . . . . . . . .33
2.4.2 RSA-Verschlüsselung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2.4.3 Digitale Signatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
2.4.4 Zertifizierung der öffentlichen Schlüssel. . . . . . . . . . . . . .41
2.5 Rückblick auf die moderne Kryptografie . . . . . . . . . . . . .. . . .43
3 Codierung 45
3.1 Europäische Artikelnummer: EAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 ISBN-13 und ISBN-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Codierung mit 0 und 1 ist überall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Rückblick auf die Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
4 Graphentheorie 57
4.1 Allerlei Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Euler, Königsberg und Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
4.1.2 Beschreibung von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
4.2 Aufspannende Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
4.2.1 Minimale Spannbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Spannbäume in ungewichteten Graphen . . . . . . . . . . . 66
4.3 Kürzeste Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Färbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Graphentheorie: Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . .76
5 Fraktale, Chaos, Ordnung 79
5.1 Idee von Rekursion und Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
5.1.1 Spinnwebdarstellung rekursiver Folgen . . . . . . . . . . . . . . .82
5.1.2 Wachstumsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
5.1.3 Feigenbaumdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Fraktale und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
5.2.1 Wegfraktale, Lindenmayer-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . .89
5.2.2 Selbstähnlichkeit und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
5.2.3 Iterierte-Funktionen-Systeme (IFS) . . . . . . . . . . . . . . . . .95
5.3 Mandelbrot- und Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 Das echte Apfelmännchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.2 Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Muster der Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.1 Zelluläre Automaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.2 Spiralen mit goldenem Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Welt der Funktionen 117
6.1 Funktionenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.1 Parabeln und elementare Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.2 Geraden und Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.3 Polynome in ihrer Vielfalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.1.4 Sinus, Kosinus und Musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.1.6 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2 Funktionenbauhof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.1 Summe von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.2 Produkt von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2.3 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.1 Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.2 Die e-Funktion, das Geheimnis wird gelüftet . . . . . . . . . . . . 157
6.4 Blick auf das Ganze: das Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.2 Weitere Anwendungen des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.5 Großartiger Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.6 Funktionen in höheren Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.6.1 Funktionen im 3D-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.6.2 Mathematische 3D-Lösungen im Bauwesen . . . . . . . . . . . . 175
6.6.3 Noch höher hinaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7 Optimierung als Ziel 181
7.1 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2 Gewinnoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4 Minimalflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.6 Optimierung ist überall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8 Computer und Mathematik 193
8.1 Binärsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2 Zahldarstellung im Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3 Numerisch arbeitende Werkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4 Dynamische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.5 Computer-Algebra-Systeme (CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.6 Berechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.7 Computer in unserer Welt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9 Numerik 217
9.1 Numerische Verfahren der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.1.1 Heron-Verfahren für Wurzeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.1.2 Nullstellensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.1.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.2 Für alle Fälle: Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.2.1 Ein Taylor schneidert Polynomkleider, die fast passen . . . . . . 226
9.2.2 Zwischenwerte: Interpolation mit Polynomen . . . . . . . . . . . 228
9.2.3 Splines: damit es in der richtigen Weise krumm wird . . . . . . . 229
9.2.4 Bézier-Splines: frei gestaltete Formen . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.3 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.4 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.5 Ohne Numerik geht es nicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10 Stochastik 239
10.1 Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.2 Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.2.2 Axiome von Kolmogorow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.2.3 Mehrstufige Zufallsversuche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.3 Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.3.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.3.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.3.3 Kumulierte Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.3.4 Normalverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4 Beurteilende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.4.1 Schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.4.2 Testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.5 Stochastik im Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11 Geometrie 279
11.1 Der goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.2 Die Kegelschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.3 Reflexion bei Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.4 Reflexion bei Ellipsen und Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . .. . . 293
11.5 Kaustiken und Katakaustiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.6 Geometrie im Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12 Selbstverständnis der Mathematik 301
12.1 Mathematiker und Mathematikerinnen. . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.2 Algebra und Zahlaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.3 Mathematische Schönheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
12.4 Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.5 Die unlösbaren Probleme der Antike . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 314
12.6 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13 Lösungen 317
Literaturverzeichnis 323
Index 333